Mezinárodní skupina vědců dokázala, že Fibonacciho posloupnost může řídit topologický přenos světla v kvazicyklických materiálech, čímž porušuje pravidlo přísné periodicity.
Čísla Fibonacciho posloupnosti se vyskytují ve spirálách mušlí, v uspořádání okvětních lístků mnoha květin a ve struktuře některých galaxií. Jejich opakovaný výskyt v přírodních jevech učinil tuto matematickou posloupnost symbolem harmonie. Nyní mezinárodní skupina vědců našla pro ni nové využití:kontrolovaný a spolehlivý přenos světla materiály speciálně vyvinutými pro tento účel.
Ve studii publikované v časopise eLight fyzikové pod vedením Fanweye Ye z Šanghajské univerzity Jiao Tong spolu s kolegy z Portugalska a Ruska experimentálně prokázali, že je možné „čerpat“ světlo kontrolovaným způsobem podle vzorů definovaných Fibonacciho posloupností. Práce je založena na fyzikálním konceptu známém jako topologické čerpání, který využívá globální vlastnosti systému k přesnému a rušení odolnému přesunu energie nebo částic. Novinkou je, že toto čerpání nebylo provedeno v periodickém prostředí, jak tomu bylo dosud, ale v kvazipériodickém, což porušuje jeden ze základních požadavků.
Od Nobelovy ceny k novému optickému paradigmatu
Topologické pumpování bylo navrženo v roce 1983 nositelem Nobelovy ceny Davidem J. Tolesem k vysvětlení toho, jak se elektrony mohou kontrolovaně pohybovat v periodickém potenciálu modulovaném v čase. Tento mechanismus se vyznačuje závislostí na topologickém invariantu – Chernově čísle – a odolností vůči lokálním defektům prostředí. Podle článku je tento jev „necitlivý na lokální nedokonalosti prostředí“ a má uplatnění v různých oblastech, od optiky po akustiku.
Dosud se výzkum soustředil na systémy, ve kterých byla časová modulace přísně periodická, což zaručuje opakování stavu systému v určitých intervalech. Nová práce klade ambiciózní otázku: je možné zachovat topologické čerpání, pokud je tato ideální periodičnost narušena? Tým zkoumal kvazipériodickou konfiguracií modulací systému dvěma frekvencemi, jejichž poměr je iracionálním číslem. V tomto případě zvolili zlaté číslo, které je úzce spojeno s Fibonacciho posloupností.
Obrázek ukazuje, jak se světlo pohybuje v kvazicyklických sítích pomocí periodických aproximací, demonstrujících optické čerpání a trajektorii paprsku během jednoho cyklu. Zdroj: eLight
Jak je Fibonacci spojen s pohybem světla
Autoři připomínají, že jakékoli iracionální číslo lze aproximovat pomocí zlomků složených z celých čísel. V případě zlatého čísla se tyto zlomky získávají přímo z Fibonacciho posloupnosti, kde každý člen je součtem dvou předchozích. Pomocí poměrů 1/2, 2/3, 3/5, 5/8 atd. lze tedy přiblížit poměr mezi dvěma frekvencemi modulace.
V jejich experimentu to vedlo k získání řady „periodických aproximantů“, které napodobují chování reálného kvaziperiodického systému. Tyto aproximanty umožnily použít teoretické nástroje běžného topologického čerpání na případ, který v zásadě neodpovídá jeho pravidlům. Klíčovým objevem bylo, že Černova čísla vypočítaná pro každou aproximaci přesně sledovala Fibonacciho posloupnost: 1, 2, 3, 5, 8, 13… Jak poznamenávají, „Černovo číslo pro následující aproximace se shoduje s Fibonacciho čísly“, což přímo určuje rychlost, kterou se šíří světlo.
Optická sestava pro ověření teorie
Tým pracoval s fotorefraktivním sklem ze stroncium-baryum-niobátu (SBN) o rozměrech 5×5×20 mm³. Použili techniku zvanou optická indukce, při které se obvykle polarizované laserové paprsky interferují a vytvářejí refrakční vzor uvnitř skla. Tento vzor funguje jako „síť“, která směruje testovací paprsek, v tomto případě extrémně polarizovaný, podél podélné osy.
Každý periodický přibližující se paprsek vyžadoval mírně odlišný vzor s podélnými periodami spojenými poměry Fibonacciho. V praxi délka krystalu umožnila provést pouze první tři přibližující se paprsky s délkami polovičního kroku 8, 12 a 19 mm. Ve všech případech tým změřil boční posun těžiště paprsku po průchodu poloviny cyklu pumpování.
Výsledky: stopa Fibonacciho v posunu
Experimentální měření ukázala posun paprsku, který se shodoval s teoretickými předpověďmi pro každé přiblížení podle Fibonacciho pravidla. I při výrazných změnách amplitudy sítě v důsledku změny napětí zůstala rychlost pumpování prakticky konstantní. To potvrzuje, že topologická stabilita je zachována v kvazicyklickém režimu.
V článku se vysvětluje, že „rychlost čerpání je určována globálními topologickými vlastnostmi pásů“, nikoli lokálními nedokonalostmi nebo neuspořádaností. Kromě toho numerické simulace reprodukovaly pozorované chování, včetně konvergence průměrné rychlosti k mezní hodnotě určené zlatým řezem.
Co to znamená pro fyziku a technologii
Tato práce ukazuje, že přísná časová periodičita není nezbytná pro dosažení topologického čerpání, což výrazně rozšiřuje možnosti navrhování fotonových systémů a jiných vlnových médií. Strategie použití periodických aproximací pro popis kvazipériodického systému také otevírá dveře pro výzkum jiných iracionálních čísel odlišných od zlatého řezu.
Autoři předpokládají, že tento koncept může být použit v oblastech, jako jsou ultrachladné atomy, plazmonika nebo akustické systémy, kde lze realizovat kvazipériodické modulace. Rovněž poznamenávají, že použitá experimentální platforma umožňuje zkoumat interakce mezi topologií, symetrií a nelinearitou, což může vést k objevu nových stavů hmoty a vývoji kvantových zařízení s jedinečnými transportními vlastnostmi.
Výzvy a budoucí směry
Navzdory úspěchu se experimenty setkaly s vážným problémem: difrakcí svazku během pumpování, která se zesiluje s přibývajícími vyššími řády. Pro snížení tohoto efektu je nutné zvětšit hloubku mřížky, což je omezeno technikou optické indukce. Mezi možná řešení patří použití diskrétních polí vlnovodů, které umožňují dosáhnout větší lokalizace, nebo použití nelineárních efektů pro udržení lokalizace svazku.
Dalším směrem výzkumu bude přenos tohoto kvazicyklického čerpání na dvourozměrné systémy, jako jsou fotonové sítě typu moaré, kde lze difrakci lépe kontrolovat. Takové konfigurace mohou odhalit ještě složitější a stabilnější transportní jevy.
Mimo optiku
Důkaz, že Fibonacciho posloupnost může řídit transport světla, není jen zajímavým objevem: je to důkaz, že matematické zákony, které řídí přírodu, lze použít k kontrole pohybu energie předvídatelným a stabilním způsobem. Skutečnost, že číselný vzorec přítomný v barvách a galaxiích může najít uplatnění v technologiích manipulace se světlem, ilustruje hluboké propojení mezi matematikou a experimentální fyzikou.
Autoři docházejí k závěru, že strategie aproximace kvazicyklického systému pomocí periodických sekvencí „umožňuje pozorovat relativně rychlý přechod k průměrné rychlosti čerpání, což potvrzuje jeho topologický původ“. Jinými slovy, světlo se řídí Fibonacciho pravidly i v prostředí, které porušuje klasická pravidla topologického čerpání.
